Задание управляющей метрики для адаптации

Пусть $ G_\xi(\xi)$ и $ G_x(x)$ - метрические тензоры, задающие посредством линейных элементов метрики в лагранжевых и эйлеровых координатах в областях $ \Omega_\xi$ и $ \Omega_x$ , соответственно. Функционал адаптации записывается в виде

$\displaystyle J_\alpha(x) = \int_{\Omega_{\xi}} W_\alpha (Q \nabla_{\xi} x P^{-1}) \det P d \xi,$ (15)


где

$\displaystyle P^T P = G_\xi, \det P > 0, Q^T Q = G_x, \det Q > 0 $

- некоторые факторизации.

Метрический тензор $ G_x(x)$ задается как

$\displaystyle G_x(x) = (1 + c \vert H(x)\vert) I $

где $ H(x)$ - векторная средняя кривизна поверхности, $ c$ - постоянный вес.

$\displaystyle W(C) = (1 - \theta) \frac{\frac12 \mathop{\rm tr}(C^T C)}{\det C} + \frac12 \theta ( \frac1{\det C} + \det C ) $