Вариационный принцип теории упругости в лагранжевых координатах

  • Пусть $ \xi_1, \xi_2, \xi_3$ - лагранжевы координаты, а $ x_1, x_2, x_3$- эйлеровы координаты материальной точки.
  • Отображение $ x(\xi)$задает стационарную деформацию упругого тела.
  • Матрица Якоби отображения $ x(\xi)$ обозначается через $ C$ , где $ c_{ij} = {\partial x_i}/{\partial \xi_j}$.

Упругая деформация $ x(\xi)$ является минимизирующим отображением для следующего функционала (запасенной энергии)

$\displaystyle J(x) = \int\limits_{\Omega} \tilde{\Phi}(C) d \xi, $

где $ \tilde{\Phi}(C)$ - упругий потенциал, а область $ \Omega$ задает упругое тело в лагранжевых координатах.