Локальная выпуклость дискретного функционала (двумерный пример)

  • Пусть дискретный функционал строится при помощи кусочно-аффинного приближения. Пусть $ z_i \in \mathbb{R}^2$ - положения вершин триангуляции $ T^x$ в расчетной области. Искомое решение - это матрица $ Z = (z_1, \dots, z_{n_v})$.

  • Обозначим через $ Z_1, Z_2$ столбцы матрицы $ Z^T$.

  • Дискретный функционал, основанный на линейных треугольных элементах, можно записать как

    $\displaystyle J_\alpha^h(Z) = F(Z_1, Z_2, \alpha) = F(z_1, \dots, z_{n_v}, \alpha) $

  • Если мера искажения $ W_\alpha(C)$ поливыпукла, то функция $ F$ выпукла по отношению к каждому из аргументов $ Z_i, i=1,2$ и $ z_i, i=1, \dots, n_v$.

  • Это свойство справедливо и в $ d$ -мерном случае, при $ d > 2$.