Проскальзывание на неявной границе

Пусть граничная точка $ z_k$ в процессе оптимизации сетки может двигаться по поверхности

$\displaystyle u(x) = 0 $

Будем предполагать, что вектор $ \nabla u(z_k)$ определен. Если же функция $ u$ не является дифференцируемой в классическом смысле в точке $ z_k$ , для приближенного вычисления градиента можно использовать касательный конус к $ \partial \Omega$ в данной точке. Таким образом, в точке $ z_k$ можно вычислить векторы $ l_1$ , $ l_2$ , касательных к границе области $ \Omega_x$ , для которых справедливо равенство $ l_i^T \nabla u(x_k) =0$.

Тогда уравнение стационарноcти функционала в вершине $ z_k$ можно записать так:

$\displaystyle l_i^T \frac{\partial F}{\partial z_k} = 0, i = 1, 2$ (6)
$\displaystyle u(z_k) = 0$ (7)