Свойства упругого потенциала

  • инвариантность и объективность: $ \tilde{\Phi}(U C V^T) = \tilde{\Phi}(C)$ , где $ U^T U = I$ , $ \det U = 1$ , $ V^T V = I$ , $ \det V = 1$;
  • абсолютный минимум $ \tilde{\Phi}(C)$ достигается при $ C = U$ , где $ U^T U = I$ , $ \det U = 1$;

  • закон Гука и определение постоянных Ламе $ \lambda$ , $ \mu$:
    $\displaystyle \tilde{\Phi}(C) = \tilde{\Phi}(I) + \frac{\lambda}{2} (\mathop{\r... ...)^2 + \mu \mathop{\rm tr}\mathcal E^2 + o(\vert\vert \mathcal E\vert\vert^2), $
    где $ \mathcal E = \frac12 (C^T C - I)$- тензор деформации Грина - Сен-Венана.

Теоремы существования вариационных задач теории упругости blue [Ball J.M. Arch. Rat. Mech. Analys. 1977. V.63. P.337-403.] основаны на следующих дополнительных требованиях:

  • упругая деформация ищется в классе соболевских отображений;
  • барьерность: $ \tilde{\Phi}(C) \to + \infty $ при $ \det C \to +0$ . Это свойство несовместимо с выпуклостью blue [Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992.];
  • поливыпуклость: $ \tilde{\Phi}(C)$ является непрерывной выпуклой функцией миноров матрицы $ C$ , т.е. существует непрерывная выпуклая функция $ \Phi$ такая, что $ \tilde{\Phi}(C) = \Phi(C, \det C, \mathop{\rm cof}C)$;
  • условия роста (коэрцитивность)