Представление средней кривизны через бельтрамиан

Рассмотрим поверхность $ S$ в $ \mathbb{R}^3$ , заданную параметрически как $ x(\xi_1, \xi_2)$ .

$\displaystyle \Delta_B = \frac1{J} \left( \frac{\partial }{\partial \xi_1} \fra... ...al }{\partial \xi_2} \frac{g_{11}}{J} \frac{\partial }{\partial \xi_2} \right),$ (13)


где $ g_{ij}$ - элементы матрицы первой фундаментальной формы $ G$ поверхности $ S$ , $ J = \det G^\frac12$ . Оператор (13) называют оператором Бельтрами или бельтрамианом. Он является аналогом оператора Лапласа на криволинейной поверхности.

Как известно, векторная средняя кривизна поверхности совпадает с Бельтрамианом ее координатного представления.

$\displaystyle \Delta_B x = \nu H,$ (14)

Таким образом, дискретный бельтрамиан может быть использован для вычисления дискретной средней кривизны.

Для дискретизации бельтрамиана используется вариант метода конечных объемов, обеспечивающий локально второй порядок при вычислении "потоков" через ребра на сильно неравномерных сетках при слабом уклонении от ортогональности, а также сохраняющий устойчивость на невыпуклых четырехугольных ячейках.