Функционал для отображения между двумя многообразиями

Пусть $ G_\xi(\xi)$ и $ G_x(x)$ - метрические тензоры, задающие посредством линейных элементов метрики в лагранжевых и эйлеровых координатах в областях $ \Omega_\xi$ и $ \Omega_x$ , соответственно. Тогда функционал можно записать в виде

$\displaystyle J_\alpha(x) = \int_{\Omega_{\xi}} W_\alpha (Q \nabla_{\xi} x H^{-1}) \det H d \xi,$ (5)


где

$\displaystyle H^T H = G_\xi, \det H > 0, Q^T Q = G_x, \det Q > 0 $

- некоторые факторизации. Если существуют квазиизометрические параметризации $ \eta(\xi)$ и $ y(x)$ многообразий $ M_\xi$ и $ M_x$ , то $ H$ и $ Q$могут быть выбраны как матрицы Якоби этих параметризаций.

  • В силу инвариантности функционала композиция отображений $ y \circ x^* \circ \eta^{-1}$ не зависит от начальной параметризации, где $ x^*(\xi)$- минимизирующее отображение функционала (5).

  • Функционал (5) зависит только от главных инвариантов матрицы $ C^T G_x C G_\xi^{-1}$ .