FlowModellium Lab - Development and practical implementation of high-order numerical methods for hyperbolic conservation laws

Метод Ньютона

Градиент функции $F(z_1, \dots, z_{n_v})$ составлен из -мерных векторов $r_k = \frac{\partial F}{\partial z_k}$ . Матрица Гессе функции составляется из $3 \times 3$ матриц $H_{ij} = \frac{\partial ^2 F}{\partial z_i \partial z_j^T}$ , причем матрица $H_{ij}$ помещается на место пересечения -й блочной строки и -го блочного столбца.

Метода Ньютона - Рафсона для нахождения стационарной точки сеточного функционала без учета проскальзывания можно записать следующим образом:

$\displaystyle \sum\limits_{j=1}^{n_v} H_{ij}(Z^l) \delta z_j + r_i(Z^l) = 0$

(9)

$\displaystyle z^{l+1}_k = z^l_k + \tau_l \delta z_k, k = 1, \dots, n_v$

(10)

Смещение ранга 1

Предположим, что $W_\alpha(C)$ - поливыпуклая функция.

Рассмотрим отображение $x(\xi)$ и смещение $\delta x(\xi)$ такое, что

$\displaystyle \mathop{\rm rank}\nabla_\xi \delta x = 1$

и отображение $x + \delta x$ является допустимым.

Тогда функционал

$\displaystyle \int\limits_\Omega W_\alpha(\nabla_\xi x + \nabla_\xi \delta x) d \xi$

является выпуклым по отношению к $\delta x$ .

$\includegraphics[scale=0.6, angle=0]{var_rank_one_displacement.eps}$

Примеры смещений ранга 1.

Вариационный принцип для построения многомерных квазиизометрических отображений

в теории упругости квазиизометрическая регуляризация допускает большие искажения, т.е. параметр $\alpha$ выбирается большим;
в задачах построения сеток искажение должно быть как можно меньше, так что ищется минимизирующее отображение функционала при максимальном значении параметра $t = 1/\alpha$ .
для того, чтобы избежать сильного искривления координатных линий, гипотетический упругий материал должен работать в режиме растяжения; такое условие обычно выполняется за счет подбора управляющей метрики.

Зачем нужны квазиизометрические отображения?

$\includegraphics[scale=0.26, angle=0]{sur_conformal_cvx.ps}$ $\includegraphics[scale=0.38, angle=0]{sur_conformal_ccv.ps}$ $\includegraphics[scale=0.26, angle=0]{sur_qi_cvx.ps}$ $\includegraphics[scale=0.38, angle=0]{sur_qi_ccv.ps}$

Конформные сетки квазиизометрические сетки

Дискретизация мер искажения

Рассмотрим отображение $x(\xi)$ из параметрической области $\Omega_\xi$ (на многообразии $M_\xi$ ) на расчетную область (на многообразии ). Предположим, что область $\Omega_\xi$ такова, что для нее существует нормальное разбиение из канонических ячеек . Меру искажения отображения можно приблизить при помощи полудискретного функционала

$\displaystyle J_\alpha(x_h(\xi)) = \sum\limits_{K_k} \int\limits_{K_k} W_\alpha(\nabla x_h(\xi)) d \xi$

где $x_h(\xi)$ - непрерывное кусочно-гладкое отображение.

Если ячейки - симплексы, то отображение $x_h(\xi)$ на каждом таком элементе можно положить аффинным, а матрицу Якоби - постоянной. Так что

$\displaystyle J_\alpha (x_h(\xi)) = \sum\limits_k W_\alpha(\nabla x_h(\xi))\vert _{K_k} \mathop{\rm vol}(K_k) = J_\alpha^h(x_h(\xi))$

Когда локальное отображение не является аффинным, необходимо использовать квадратурные правила.

Для класса непрерывных кусочно-полиномиальных отображений, используя свойство поливыпуклости $W_\alpha$ , в работе предложены геометрические квадратуры, гарантирующие, что

$\displaystyle J_\alpha (x_h(\xi)) \leq J_\alpha^h(x_h(\xi)),$

где $J_\alpha^h$ обозначает дискретный функционал.

Квазиизометрическая регуляризация упругого потенциала

Пусть - некоторый упругий потенциал. Рассмотрим следующее преобразование.

$\displaystyle W_\alpha(C) = \left\{ \begin{array}{lcl} \dfrac1{\alpha} \dfrac{(... ...{ при }& \alpha W(I) - W(C) \leq 0 \end{array} \right. , 1 < \alpha < +\infty$