Дискретизация мер искажения

Рассмотрим отображение $ x(\xi)$ из параметрической области $ \Omega_\xi$ (на многообразии $ M_\xi$ ) на расчетную область (на многообразии $ M_x$ ). Предположим, что область $ \Omega_\xi$ такова, что для нее существует нормальное разбиение из канонических ячеек $ K_k$ . Меру искажения отображения можно приблизить при помощи полудискретного функционала

$\displaystyle J_\alpha(x_h(\xi)) = \sum\limits_{K_k} \int\limits_{K_k} W_\alpha(\nabla x_h(\xi)) d \xi $

где $ x_h(\xi)$ - непрерывное кусочно-гладкое отображение.

Если ячейки $ K_k$ - симплексы, то отображение $ x_h(\xi)$ на каждом таком элементе можно положить аффинным, а матрицу Якоби - постоянной. Так что

$\displaystyle J_\alpha (x_h(\xi)) = \sum\limits_k W_\alpha(\nabla x_h(\xi))\vert _{K_k} \mathop{\rm vol}(K_k) = J_\alpha^h(x_h(\xi)) $

Когда локальное отображение не является аффинным, необходимо использовать квадратурные правила.

Для класса непрерывных кусочно-полиномиальных отображений, используя свойство поливыпуклости $ W_\alpha$ , в работе предложены геометрические квадратуры, гарантирующие, что

$\displaystyle J_\alpha (x_h(\xi)) \leq J_\alpha^h(x_h(\xi)), $

где $ J_\alpha^h$ обозначает дискретный функционал.