Совместный семинар лаборатории нелинейных процессов в газовых средах МФТИ и NUMGRID2013
Во вторник 24 декабря 2013г. в 16-00 в к.102 ВЦ РАН состоится очередное заседание семинара "Численная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводельные вычисления"
Место: г. Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН им. Дородницына, 102 кабинет
Докладчик: Григорьев О.А. (Учреждение Российской Академии наук Институт вычислительной математики РАН, email:
Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.
)
Тема: Построение ортогональных сеток в прямоугольных многоугольниках
Тема: Построение ортогональных сеток в прямоугольных многоугольниках
Проблема построения ортогональных сеток возникает во многих задачах вычислительной гидродинамики, в частности, в задаче об устойчивости течения в канале. В двумерной гидродинамике их можно построить, предложив эффективный метод конформного отображения на область. В докладе будет рассказано о том, как решается задача построения конформных сеток в каналах с прямоугольным оребрением, т.е. областью является прямоугольный n-угольник.
Функциональный вид отображения известен – это интеграл Кристоффеля-Шварца, зависящим от n-3 неизвестных параметров (прообразов вершин). «Наивный» подход к их поиску таков: вычисление интегралов с пределами в прообразах соседних вершин дает известные длины рёбер многоугольника. Получается система уравнений, связывающих параметры. Однако при таком подходе нет оценок точности используемых квадратурных формул, а все уравнения системы существенно нелинейны.
Альтернативой является метод, основанный на следующем наблюдении: интеграл Кристоффеля-Шварца для прямоугольных многоугольников можно рассматривать как сумму абелевых интегралов на гиперэллиптической римановой поверхности, ассоциированной с многоугольником, при этом в качестве неизвестных параметров рассматриваются элементы её матрицы периодов. Абелевы интегралы можно представить как отношение θ-функций на многообразии Якоби данной поверхности [1]. Вычисление этих интегралов приводит к составлению новой системы уравнений. Левая часть этой системы может быть вычислена с любой заданной точностью вплоть до машинной, поскольку остаточный член ряда, которым записываются θ-функции, быстро убывает, а некоторые из уравнений являются линейными. Система решается методом Ньютона с продолжением по параметру; показана сходимость метода, предложена процедура генерации начального приближения.
Подобный подход был впервые применен в работе [2] для многоугольников с четырьмя прямыми углами, с которыми ассоциирована эллиптическая поверхность, и развит в [3] для поверхностей рода 2. Будет рассказано об этих работах и о том, как он обобщается на случай рода 3. Данное обобщение является нетривиальным, в частности, в роде 3 возникает т.н. гиперэллиптическая проблема Шоттки [1].
В результате был получен эффективный алгоритм построения конформных сеток в прямоугольных многоугольниках, имеющих до 8 вершин. В докладе будут показаны результаты генерации сеток в различных областях с прямоугольным оребрением и кратко изложены перспективы развития метода.
Литература
1. Мамфорд Д. Лекции о тэта-функциях. М., Мир, 1988.
2. Bogatyrev A., Hassner M., Yarmolich D. An analytical-expression for the read sensor signal in magnetic data storage channels // «Error-Correcting Codes, Finite Geometries and Cryptography», AMS series Contemporary Math. 523 (2010), рр.155-160.
3. Григорьев О.А. Численно-аналитический метод конформного отображения многоугольников с шестью прямыми углами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 53:10 (2013), 1629–1638.
Функциональный вид отображения известен – это интеграл Кристоффеля-Шварца, зависящим от n-3 неизвестных параметров (прообразов вершин). «Наивный» подход к их поиску таков: вычисление интегралов с пределами в прообразах соседних вершин дает известные длины рёбер многоугольника. Получается система уравнений, связывающих параметры. Однако при таком подходе нет оценок точности используемых квадратурных формул, а все уравнения системы существенно нелинейны.
Альтернативой является метод, основанный на следующем наблюдении: интеграл Кристоффеля-Шварца для прямоугольных многоугольников можно рассматривать как сумму абелевых интегралов на гиперэллиптической римановой поверхности, ассоциированной с многоугольником, при этом в качестве неизвестных параметров рассматриваются элементы её матрицы периодов. Абелевы интегралы можно представить как отношение θ-функций на многообразии Якоби данной поверхности [1]. Вычисление этих интегралов приводит к составлению новой системы уравнений. Левая часть этой системы может быть вычислена с любой заданной точностью вплоть до машинной, поскольку остаточный член ряда, которым записываются θ-функции, быстро убывает, а некоторые из уравнений являются линейными. Система решается методом Ньютона с продолжением по параметру; показана сходимость метода, предложена процедура генерации начального приближения.
Подобный подход был впервые применен в работе [2] для многоугольников с четырьмя прямыми углами, с которыми ассоциирована эллиптическая поверхность, и развит в [3] для поверхностей рода 2. Будет рассказано об этих работах и о том, как он обобщается на случай рода 3. Данное обобщение является нетривиальным, в частности, в роде 3 возникает т.н. гиперэллиптическая проблема Шоттки [1].
В результате был получен эффективный алгоритм построения конформных сеток в прямоугольных многоугольниках, имеющих до 8 вершин. В докладе будут показаны результаты генерации сеток в различных областях с прямоугольным оребрением и кратко изложены перспективы развития метода.
Литература
1. Мамфорд Д. Лекции о тэта-функциях. М., Мир, 1988.
2. Bogatyrev A., Hassner M., Yarmolich D. An analytical-expression for the read sensor signal in magnetic data storage channels // «Error-Correcting Codes, Finite Geometries and Cryptography», AMS series Contemporary Math. 523 (2010), рр.155-160.
3. Григорьев О.А. Численно-аналитический метод конформного отображения многоугольников с шестью прямыми углами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 53:10 (2013), 1629–1638.