Подписаться на рассылку новостей

Функционал для отображения между двумя многообразиями

Пусть $ G_\xi(\xi)$ и $ G_x(x)$ - метрические тензоры, задающие посредством линейных элементов метрики в лагранжевых и эйлеровых координатах в областях $ \Omega_\xi$ и $ \Omega_x$ , соответственно. Тогда функционал можно записать в виде

$\displaystyle J_\alpha(x) = \int_{\Omega_{\xi}} W_\alpha (Q \nabla_{\xi} x H^{-1}) \det H d  \xi,$ (5)


где

$\displaystyle H^T H = G_\xi, \det H > 0,   Q^T Q = G_x, \det Q > 0
$

- некоторые факторизации. Если существуют квазиизометрические параметризации $ \eta(\xi)$ и $ y(x)$ многообразий $ M_\xi$ и $ M_x$ , то $ H$ и $ Q$могут быть выбраны как матрицы Якоби этих параметризаций.

  • В силу инвариантности функционала композиция отображений $ y \circ x^* \circ \eta^{-1}$ не зависит от начальной параметризации, где $ x^*(\xi)$- минимизирующее отображение функционала (5).

  • Функционал (5) зависит только от главных инвариантов матрицы $ C^T G_x C G_\xi^{-1}$ .

Направления исследований

Ниже представлена часть направлений исследований затронутых лабораторией:

Роль физико-химических процессов при численном моделировании задач входа спускаемых космических аппаратов в атмосферу Земли и других планет.

Ответственный за направление д.ф.-м.н. Сахаров В.И.

Несмотря на значительное количество полетов высокоскоростных летательных аппаратов в атмосфере Земли, интерес к задачам газовой динамики, возникающим при их разработке, не ослабевает. Это обусловлено как фундаментальными газодинамическими аспектами рассматриваемой проблемы, так и практическими приложениями, связанными с необходимостью расчетов параметров аэродинамики и теплообмена при проектировании перспективных летательных аппаратов с целью сокращения количества дорогостоящих экспериментов в аэродинамических установках.

При решении конкретной задачи важным является выбор не только газодинамической модели, т.е. системы уравнений, адекватно описывающей само течение, но и модели газовой среды, включающей в себя описание физико-химические процессов, протекающих в газе и на поверхности и существенно влияющих на макроскопические свойства газа и динамику его течения.

Молекулярное строение газа не рассматривается в классической газовой динамике, а величины, связанные со свойствами молекул (теплоемкости, коэффициенты переноса и др.), входят в уравнения газовой динамики в виде различных коэффициентов, для определения которых можно не привлекать теорию молекулярного строения. Высокие температуры исключают возможность полного описания задач аэродинамики в рамках адиабатического течения совершенного газа с постоянными теплоемкостями. Если в газе происходят физико-химические превращения: возбуждение колебательных и вращательных степеней свободы молекул, диссоциация (рекомбинация) молекул, ионизация (нейтрализация), возбуждение электронных уровней атомов и молекул, излучение и поглощение лучистой энергии, необходимо использовать представления о свойствах частиц, из которых состоит газ, рассматривать их внутреннее строение и взаимодействие. Все эти процессы в большей степени влияют на теплопередачу к обтекаемому таким высокотемпературным газом телу и меньше на сопротивление.

Характерной особенностью течений высокотемпературного многоатомного газа являются процессы диссоциации (рекомбинации) и ионизации (дезактивации). Выделение механизма реакций, играющую основную роль в рассматриваемом диапазоне температур важно для правильного расчета параметров в газе и сокращения объема необходимых вычислений.

Важным обстоятельством для численного моделирования задач входа космических тел в атмосферы Земли и других планет является выбор кинетических моделей процессов, протекающих в ударно нагретом газе около тела. Так, анализ кинетических процессов за фронтом головной ударной волны в воздухе при скоростях движения 6–11 км/с, и рассмотрение, наряду с процессами диссоциации, и процессов ионизации позволил правильно оценить длину релаксационной зоны ионизации за фронтом волны (работы С.А. Лосева, В.А. Полянского в НИИ Механики МГУ).

Существенное различие в константах скоростей химических реакций и реакций ионизации в разных моделях может оказывать влияние на макроскопические параметры в расчетах течений высокотемпературного газа. В настоящее время существуют многочисленные кинетические модели реакций в воздухе, в смесях, содержащих CO2, и в других газах.

Релаксация энергии колебательных степеней свободы молекул сводится к обмену энергии между колебаниями с другими степенями свободы и ее перераспределению среди колебательных степеней свободы. Этот обмен становится важным, когда колебательные степени свободы содержат в себе значительную энергию и происходит интенсивный обмен с другими степенями свободы. Помимо этого энергия, запасенная в колебаниях, влияет на поступательную температуру частиц и на процесс диссоциации молекул.

На важность учета неравновесного возбуждения электронных состояний атомарных компонентов при рассмотрении задач обтекания тел со скоростями > 10 км/с указано в работах В.А.Горелова и др. (ЦАГИ), где предложена упрощенная ступенчатая модель ионизации атомов N и O, учитывающая резонансный обмен между электронными состояниями уровней этих компонентов. Применение модели в расчетах приводит к лучшему совпадению с экспериментом температуры электронов за фронтом волны.

При разработке программных комплексов, предназначенных для проведения расчетов гиперзвуковых течений газа в рамках уравнений Эйлера, Навье?Стокса и Рейнольдса, необходимо опираться на специализированные базы данных по термодинамическим, кинетическим и транспортным свойствам индивидуальных газов и газовых смесей. Используя модели газовой среды различной сложности от совершенного газа до многокомпонентной термически и химически неравновесной газовой среды, можно создавать для решения конкретных задач оптимальные рабочие программы, сочетающие достаточно полное описание рассматриваемого течения с минимальными затратами ресурсов вычислительных средств. Такие программные комплексы могут быть сориентированы на решение ряда актуальных задач внешней и внутренней аэротермодинамики и открыты для разработчиков в плане внедрения в него математического описания и программной реализации процессов, учет которых необходим для решения конкретных задач.